Pearson Correlation vs. Spearman Correlation

Comparison of Pearson and Spearman coefficients

• Comparison of Pearson and Spearman coefficients
  • Pearson coefficients
  • Spearman coefficients
  • Comparsion of Pearson and Spearman coefficients

Pearson coefficients

Pearson correlation cofficient是两个变量之间的协方差（covariance）除以两者标准差的乘积，它假定变量的分布是正态分布

$\rho_{X,Y} = \frac{cov(X,Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}$

$cov(X,Y) = E\left[ (X-E\left[X\right])(Y-E\left[Y\right]) \right]$

$\rho = \sqrt{E\left[(X-E\left[X\right])^2\right]}$

Spearman coefficients

Spearman correlation cofficient则是使用X、Y的秩进行计算求的秩的标准差与协方差，但是Spearman相关系数不要求变量的分布满足正态分布假设，因此在数据不满足正态分布的情况下也可以使用，可以更好地反映非线性关系和异常值。

$r_{s} =\rho_{R(X)R(Y)} =\frac{cov(R(X),R(Y))}{\sigma_{(R(X)}\sigma_{R(Y)}}$

也可用如下公式进行计算

$r_{s} = 1 - \frac{6\sum{d_i^2}}{n(n^2-1)}$

其中$d = \sum{R_{X_i}-R_{Y_i}}$，$n$为样本个数

Comparsion of Pearson and Spearman coefficients

Pearson 积矩相关	Spearman 秩次相关
Pearson 相关评估两个连续变量之间的线性关系。当一个变量中的变化与另一个变量中的成比例变化相关时，这两个变量具有线性关系	Spearman 相关评估两个连续或顺序变量之间的单调关系。在单调关系中，变量倾向于同时变化，但不一定以恒定的速率变化。Spearman 相关系数基于每个变量的秩值（而非原始数据）
$-1\le\rho\le1 $	$-1\le\rho\le1 $

Pearson = +1，Spearman = +1
pg)

Pearson = +0.851，Spearman = +1

Pearson = −0.093，Spearman = −0.093

Pearson = 0，Spearman = 0
Pearson 相关系数只度量线性关系。Spearman 相关系数只度量单调关系。因此，即使相关系数为 0，也可能存在有意义的关系。检查散点图可确定关系的形式。